آیا کلاس NP می تواند با کلاس EXPTIME برابر باشد؟

/ / منتشر شده در امنیت سایبری, مبانی نظریه پیچیدگی محاسباتی EITC/IS/CCTF, پیچیدگی, پیچیدگی زمان با مدلهای مختلف محاسباتی

این سوال که آیا کلاس NP می تواند برابر با کلاس EXPTIME باشد، به جنبه های اساسی نظریه پیچیدگی محاسباتی می پردازد. برای پرداختن به این پرسش به طور جامع، درک تعاریف و ویژگی های این کلاس های پیچیدگی، روابط بین آنها و پیامدهای چنین برابری ضروری است.

تعاریف و ویژگی ها

NP (زمان چند جمله ای غیر قطعی):
کلاس NP از مسائل تصمیم گیری تشکیل شده است که یک راه حل داده شده برای آنها می تواند درست یا نادرست در زمان چند جمله ای توسط یک ماشین تورینگ قطعی تأیید شود. به طور رسمی، یک زبان (L) در NP است اگر یک تأیید کننده زمان چند جمله ای (V) و یک چند جمله ای (p) وجود داشته باشد، به طوری که برای هر رشته (x در L)، یک گواهی (y) با ( |y| leq p(|x|) ) و ( V(x, y) = 1).

EXPTIME (زمان نمایی):
کلاس EXPTIME شامل مسائل تصمیم گیری است که می تواند توسط یک ماشین تورینگ قطعی در زمان نمایی حل شود. به طور رسمی، یک زبان (L) در EXPTIME است اگر یک ماشین تورینگ قطعی (M) و یک ثابت (k) وجود داشته باشد به طوری که برای هر رشته (x در L)، (M) (x) در زمان (O(2) تصمیم بگیرد. ^{n^k}))، که در آن (n) طول (x) است.

رابطه بین NP و EXPTIME

برای تجزیه و تحلیل اینکه آیا NP می تواند برابر با EXPTIME باشد، باید روابط شناخته شده بین این کلاس ها و پیامدهای چنین برابری را در نظر بگیریم.

1. مهار:
مشخص است که NP در EXPTIME قرار دارد. این به این دلیل است که هر مسئله ای که بتوان آن را در زمان چند جمله ای تأیید کرد (مانند NP) می تواند در زمان نمایی نیز حل شود. به طور خاص، یک الگوریتم زمان چند جمله ای غیر قطعی را می توان با یک الگوریتم زمان نمایی قطعی شبیه سازی کرد. بنابراین، ( text{NP}subseteq text{EXPTIME} ).

2. جدایی:
باور عمومی در نظریه پیچیدگی این است که NP به شدت در EXPTIME قرار دارد، یعنی ( text{NP}subsetneq text{EXPTIME}). این باور از این واقعیت ناشی می شود که مسائل NP در زمان چند جمله ای غیر قطعی قابل حل هستند، که به طور کلی کلاس کوچکتری نسبت به مسائل قابل حل در زمان نمایی قطعی در نظر گرفته می شود.

پیامدهای NP = EXPTIME

اگر NP برابر با EXPTIME باشد، چندین پیامد عمیق را برای درک ما از پیچیدگی محاسباتی به همراه خواهد داشت:

1. چند جمله ای در مقابل زمان نمایی:
یک برابری ( text{NP} = text{EXPTIME}) نشان می‌دهد که هر مسئله‌ای که می‌تواند در زمان نمایی حل شود، می‌تواند در زمان چند جمله‌ای نیز تأیید شود. این بدان معناست که بسیاری از مسائلی که در حال حاضر تصور می‌شود نیاز به زمان نمایی دارند، می‌توانند در عوض در زمان چند جمله‌ای تأیید شوند (و در نتیجه به طور بالقوه حل شوند)، که با باورهای فعلی در نظریه پیچیدگی در تضاد است.

2. فروپاشی کلاس های پیچیدگی:
اگر NP برابر با EXPTIME بود، به معنای فروپاشی چندین کلاس پیچیدگی نیز خواهد بود. به عنوان مثال، به این معنی است که ( text{P} = text{NP})، زیرا مسائل NP-complete در زمان چند جمله‌ای قابل حل هستند. این امر به این معنی است که ( text{P} = text{PSPACE}) و به طور بالقوه منجر به فروپاشی سلسله مراتب چند جمله ای می شود.

مثال ها و ملاحظات بیشتر

برای تشریح مفاهیم، ​​به مثال‌های زیر توجه کنید:

1. SAT (مشکل رضایت‌پذیری):
SAT یک مشکل NP-complete شناخته شده است. اگر NP برابر با EXPTIME بود، به این معنی است که SAT را می توان در زمان نمایی قطعی حل کرد. مهمتر از آن، به این معنی است که SAT را می توان در زمان چند جمله ای تأیید کرد و بنابراین در زمان چند جمله ای حل می شود، که منجر به ( text{P} = text{NP}) می شود.

2. شطرنج:
مشکل تعیین اینکه آیا یک بازیکن در یک موقعیت شطرنج دارای استراتژی برنده است یا خیر، در EXPTIME شناخته شده است. اگر NP برابر با EXPTIME بود، به این معنی است که چنین مشکلی را می توان در زمان چند جمله ای تأیید کرد، که در حال حاضر امکان پذیر نیست.

نتیجه

این سوال که آیا کلاس NP می تواند برابر با کلاس EXPTIME باشد، در نظریه پیچیدگی محاسباتی یک سوال مهم است. بر اساس دانش فعلی، اعتقاد بر این است که NP به شدت در EXPTIME قرار دارد. پیامدهای برابری NP با EXPTIME عمیق خواهد بود، که منجر به فروپاشی چندین کلاس پیچیدگی می شود و درک فعلی ما از زمان چند جمله ای در مقابل زمان نمایی را به چالش می کشد.

سایر پرسش ها و پاسخ های اخیر در مورد پیچیدگی:

سوالات و پاسخ های بیشتر را در Complexity مشاهده کنید

پرسش و پاسخ بیشتر:

برچسب ها: , , , , ,