آیا P و NP در واقع کلاس پیچیدگی یکسانی هستند؟

/ / منتشر شده در امنیت سایبری, مبانی نظریه پیچیدگی محاسباتی EITC/IS/CCTF, پیچیدگی, کامل بودن NP

این سوال که آیا P برابر است با NP یکی از عمیق ترین و حل نشده ترین مسائل در علوم کامپیوتر و ریاضیات است. این مشکل در قلب نظریه پیچیدگی محاسباتی نهفته است، حوزه ای که دشواری ذاتی مسائل محاسباتی را مطالعه می کند و آنها را بر اساس منابع مورد نیاز برای حل آنها طبقه بندی می کند.

برای درک این سوال، درک تعاریف کلاس های P و NP ضروری است. کلاس P شامل مسائل تصمیم گیری (مسائل با پاسخ بله/خیر) است که می تواند توسط یک ماشین تورینگ قطعی در زمان چند جمله ای حل شود. زمان چند جمله ای نشان می دهد که زمان مورد نیاز برای حل مسئله را می توان به عنوان یک تابع چند جمله ای از اندازه ورودی بیان کرد. نمونه هایی از مسائل در P عبارتند از مرتب کردن لیستی از اعداد (که می تواند در زمان O(n log n) با استفاده از الگوریتم های کارآمد مانند ادغام انجام شود) و یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح با استفاده از الگوریتم اقلیدسی (که در O(log اجرا می شود. (min(a, b))) زمان).

از طرف دیگر، کلاس NP شامل مسائل تصمیم گیری است که یک راه حل معین را می توان در زمان چند جمله ای توسط یک ماشین تورینگ قطعی تأیید کرد. این بدان معنی است که اگر کسی یک راه حل نامزد برای مشکل ارائه دهد، می توان صحت آن را به طور موثر بررسی کرد. نکته مهم، NP لزوماً به این معنی نیست که خود مسئله را می توان در زمان چند جمله ای حل کرد، فقط به این معناست که یک راه حل پیشنهادی می تواند به سرعت تأیید شود. مثال‌هایی از مسائل در NP عبارتند از مسئله رضایت‌پذیری بولی (SAT)، که در آن فرد به دنبال تعیین وجود تخصیص مقادیر صدق به متغیرهایی است که فرمول بولی معین را درست می‌کند، و مشکل چرخه همیلتونی، که می‌پرسد آیا یک چرخه وجود دارد یا خیر. که دقیقاً یک بار از هر رأس یک نمودار بازدید می کند.

سوال P در مقابل NP می‌پرسد که آیا هر مسئله‌ای که راه‌حل آن در زمان چندجمله‌ای تأیید شود (یعنی هر مسئله در NP) می‌تواند در زمان چند جمله‌ای نیز حل شود (یعنی در P است). به طور رسمی، سؤال این است که آیا P = NP. اگر P برابر با NP بود، به این معنی است که هر مسئله ای که راه حلی برای آن به سرعت تأیید شود، می تواند به سرعت حل شود. این می تواند پیامدهای عمیقی برای زمینه هایی مانند رمزنگاری، بهینه سازی و هوش مصنوعی داشته باشد، زیرا بسیاری از مشکلات حل نشدنی فعلی به طور بالقوه می توانند به طور موثر قابل حل شوند.

علیرغم دهه‌ها تحقیق، پرسش P در مقابل NP همچنان باز است. هیچ کس هنوز نتوانسته P = NP یا P ≠ NP را ثابت کند. دشواری این مسئله با گنجاندن آن به عنوان یکی از هفت «مسئله جایزه هزاره» توسط مؤسسه ریاضیات Clay، با جایزه 1 میلیون دلاری برای راه حل صحیح، مشخص می شود. فقدان قطعنامه منجر به تحولات قابل توجهی در علوم کامپیوتر نظری و کاربردی شده است.

یکی از مفاهیم کلیدی مرتبط با سوال P در مقابل NP کامل بودن NP است. یک مسئله اگر در NP باشد، NP-کامل است و به سختی هر مسئله ای در NP باشد، به این معنا که هر مسئله NP را می توان با استفاده از کاهش زمان چند جمله ای به آن کاهش داد. مفهوم NP-completeness توسط استیون کوک در مقاله مهم خود در سال 1971 معرفی شد، جایی که او ثابت کرد که مسئله SAT NP-complete است. این نتیجه، که به عنوان قضیه کوک شناخته می‌شود، راهگشا بود، زیرا نمونه‌ای ملموس از یک مسئله NP-complete ارائه کرد و چارچوبی را برای شناسایی سایر مسائل NP-complete ایجاد کرد.

از آن زمان، بسیاری از مشکلات دیگر مانند مشکل فروشنده دوره گرد، مشکل دسته و مشکل کوله پشتی نشان داده شده است که NP-complete هستند. اهمیت NP-کاملیت در این است که اگر هر مسئله NP-کامل را بتوان در زمان چند جمله ای حل کرد، آنگاه هر مسئله در NP را می توان در زمان چند جمله ای حل کرد که به معنای P = NP است. برعکس، اگر هر مسئله NP-کامل را نتوان در زمان چند جمله ای حل کرد، آنگاه P ≠ NP.

برای نشان دادن مفهوم کامل بودن NP، مسئله فروشنده دوره گرد (TSP) را در نظر بگیرید. در این مشکل، یک فروشنده باید مجموعه ای از شهرها را دقیقاً یک بار بازدید کند و با هدف به حداقل رساندن مسافت کل سفر به شهر شروع بازگردد. نسخه تصمیم گیری TSP می پرسد که آیا توری در شهرها با مسافت کلی کمتر یا مساوی یک مقدار معین وجود دارد یا خیر. این مشکل در NP است زیرا با توجه به یک تور پیشنهادی، می توان به راحتی در زمان چند جمله ای بررسی کرد که آیا تور محدودیت فاصله را برآورده می کند یا خیر. علاوه بر این، TSP NP-کامل است زیرا هر مشکلی در NP می تواند در زمان چند جمله ای به نمونه ای از TSP تبدیل شود.

مثال دیگر مسئله دسته است، که می پرسد آیا یک نمودار داده شده حاوی یک زیرگراف کامل (کلیک) با اندازه مشخص است یا خیر. این مشکل در NP است زیرا، با توجه به یک دسته نامزد، می توان در زمان چند جمله ای بررسی کرد که آیا واقعاً یک دسته با اندازه مورد نیاز است یا خیر. مشکل دسته نیز NP-complete است، به این معنی که حل آن به طور کارآمد به این معنی است که همه مسائل NP را می توان به طور کارآمد حل کرد.

مطالعه P در مقابل NP و NP-کاملیت منجر به توسعه تکنیک ها و ابزارهای مختلف در علوم کامپیوتر نظری شده است. یکی از این تکنیک‌ها مفهوم کاهش‌های زمان چندجمله‌ای است که برای نشان دادن اینکه یک مسئله حداقل به اندازه دیگری سخت است استفاده می‌شود. کاهش زمان چند جمله‌ای از مسئله A به مسئله B تبدیلی است که نمونه‌های A را به نمونه‌های B در زمان چند جمله‌ای تبدیل می‌کند، به طوری که یک راه حل برای نمونه تبدیل شده B می‌تواند برای حل نمونه اصلی A استفاده شود. A را می توان در زمان چند جمله ای به مسئله B تقلیل داد، و B را می توان در زمان چند جمله ای حل کرد، سپس A را نیز می توان در زمان چند جمله ای حل کرد.

مفهوم مهم دیگر مفهوم الگوریتم‌های تقریبی است که راه‌حل‌های تقریباً بهینه را برای مسائل NP-hard (مسائلی که حداقل به سختی مسائل NP-کامل هستند) در زمان چند جمله‌ای ارائه می‌دهند. در حالی که این الگوریتم‌ها لزوماً راه‌حل بهینه دقیق را پیدا نمی‌کنند، اما با ارائه راه‌حل‌هایی نزدیک به بهترین راه‌حل، رویکردی عملی برای مقابله با مسائل حل‌ناپذیر ارائه می‌کنند. به عنوان مثال، مسئله فروشنده دوره گرد دارای یک الگوریتم تقریب شناخته شده است که یک تور را در ضریب 1.5 از تور بهینه برای TSP متریک (که در آن فاصله ها نابرابری مثلث را برآورده می کند) تضمین می کند.

پیامدهای حل مسئله P در مقابل NP فراتر از علم کامپیوتر نظری است. در رمزنگاری، بسیاری از طرح‌های رمزگذاری بر سختی مشکلات خاصی مانند فاکتورسازی اعداد صحیح و لگاریتم‌های گسسته تکیه می‌کنند، که تصور می‌شود در NP هستند اما در P نیستند. اگر P برابر با NP بود، این مشکلات به طور بالقوه می‌توانستند به طور موثر حل شوند و به خطر بیفتند. امنیت سیستم های رمزنگاری در مقابل، اثبات P ≠ NP پایه قوی تری برای امنیت چنین سیستم هایی فراهم می کند.

در بهینه‌سازی، بسیاری از مسائل دنیای واقعی، مانند زمان‌بندی، مسیریابی و تخصیص منابع، به عنوان مسائل NP-hard مدل‌سازی می‌شوند. اگر P برابر با NP بود، به این معنی بود که الگوریتم‌های کارآمدی می‌توانست برای حل بهینه این مسائل ایجاد شود که منجر به پیشرفت‌های قابل توجهی در صنایع مختلف شود. با این حال، فرض فعلی که P≠ NP منجر به توسعه الگوریتم‌های اکتشافی و تقریبی شده است که راه‌حل‌های عملی برای این مشکلات ارائه می‌دهند.

پرسش P در مقابل NP همچنین دارای مفاهیم فلسفی است، زیرا به ماهیت حقیقت ریاضی و محدودیت‌های دانش بشری می‌پردازد. اگر P برابر با NP بود، به این معنی است که هر گزاره ریاضی با یک برهان کوتاه را می‌توان به طور موثر کشف کرد و به طور بالقوه فرآیند کشف ریاضی را متحول کرد. از سوی دیگر، اگر P ≠ NP، نشان می دهد که محدودیت های ذاتی برای آنچه که می توان به طور موثر محاسبه و تأیید کرد وجود دارد، که پیچیدگی و غنای ساختارهای ریاضی را برجسته می کند.

علیرغم عدم پاسخ قطعی به سؤال P در مقابل NP، تحقیقات پیرامون آن منجر به درک عمیق‌تر پیچیدگی محاسباتی و توسعه تکنیک‌ها و ابزارهای متعددی شده است که تأثیر عمیقی بر علم رایانه داشته‌اند. تلاش برای حل این سوال همچنان به الهام بخشیدن و به چالش کشیدن محققان ادامه می دهد و باعث پیشرفت در این زمینه و گسترش درک ما از محدودیت های اساسی محاسبات می شود.

سایر پرسش ها و پاسخ های اخیر در مورد پیچیدگی:

سوالات و پاسخ های بیشتر را در Complexity مشاهده کنید

پرسش و پاسخ بیشتر:

برچسب ها: , , , , ,